Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{3} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Séparez les fractions.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.7

Séparez les fractions.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.9

Divisez $0$ par $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 2.10

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Étape 2.11

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 2.12

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.12.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.12.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.12.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.12.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Étape 2.12.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 2.13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 2.14

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.14.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 2.15

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 2.16

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 2.16.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 2.16.2

Associez les fractions.

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Étape 2.16.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 2.16.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 2.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.16.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 2.16.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 2.17

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{3}$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 1}{2}$

Étape 4.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4}{2}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Divisez $4$ par $2$ .

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{4 π}{3}$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.2.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Divisez $- 4$ par $2$ .

$- 2$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ , pour tout entier $n$

Étape 5