Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $v^{4}$ à partir de $v^{4} + 4 v^{8}$ .

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Étape 1.1.1

Multipliez par $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Étape 1.1.2

Factorisez $v^{4}$ à partir de $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Étape 1.1.3

Factorisez $v^{4}$ à partir de $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $v^{4}$ à partir de $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $1$ et $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Étape 3

Divisez $4 v^{4} + 1$ par $v$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 v^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 v^{4} + 0$

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Étape 3.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Étape 3.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $v$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v^{3}$ par rapport à $v$ est $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Étape 7

Associez $\frac{1}{4}$ et $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1.1

Évaluez $\frac{v^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Étape 9.1.2

Évaluez $\ln (| v |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 9.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.5

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.3.7.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.8

Associez $4$ et $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.9

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.10

Annulez le facteur commun à $60$ et $4$ .

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Étape 9.1.3.10.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.1.3.10.2.4

Divisez $15$ par $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 9.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 9.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Étape 9.3.3

Divisez $2$ par $1$ .

$15 + \ln (2)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$15 + \ln (2)$

Forme décimale :

$15.69314718 \dots$

Étape 11