Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Étape 5.4.2

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 11.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

Étape 14

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x + 3}$

Étape 15

Associez les fractions.

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Étape 15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Étape 15.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Étape 16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 16.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.2

Laissez $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 16.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.4.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4

Simplifiez

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Étape 16.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.4.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 16.4.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.4.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{1} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.1.2

Simplifiez

$\frac{3 \frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 \frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{3 \frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.4.4.3

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{3 \frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.5

Associez des termes.

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Étape 16.5.1

Associez $3$ et $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Étape 16.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Étape 16.5.3

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ comme un produit.

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Étape 16.5.4

Multipliez $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Étape 16.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 16.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Étape 16.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Étape 16.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 3)}$

Étape 16.6.2

Associez les exposants.

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Étape 16.6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Étape 16.6.2.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 16.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 16.6.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$