Calcul infinitésimal Exemples

$\int csch (\frac{1}{2} x) \coth (\frac{1}{2} x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{2} x$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{2} x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int csch (u) \coth (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int csch (u) \coth (u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int csch (u) \coth (u) \cdot 2 d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $csch (u) \coth (u)$ .

$\int 2 csch (u) \coth (u) d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int csch (u) \coth (u) d u$

Étape 4

Comme la dérivée de $- csch (u)$ est $csch (u) \coth (u)$ , l’intégrale de $csch (u) \coth (u)$ est $- csch (u)$ .

$2 (- csch (u) + C)$

Étape 5

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Étape 5.1

Simplifiez

$2 (- csch (u)) + C$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 csch (u) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{2} x$ .

$- 2 csch (\frac{1}{2} x) + C$