Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(0, 2)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Étape 1.1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4} - 16}$ comme ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Étape 1.1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.1.1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.1.1.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Étape 1.1.1.5.3

Associez $x^{3}$ et $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5.4

Déplacez $8$ à gauche de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x^{3} = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{3} = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{3} = 0$ par $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x^{3} = 0$

Étape 1.2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.2.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.2.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 1.3.2.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.4.2

Factorisez.

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Étape 1.3.2.1.4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.3

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.3.2

Résolvez ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.3.2.3.2.1

Définissez le $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.3.2.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.3.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 1.3.2.3.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 1.3.2.3.2.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 1.3.2.3.2.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 1.3.2.3.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.3.2.3.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 1.3.2.3.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 1.3.2.3.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 1.3.2.4

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.4.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.4.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.3.2.4.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.3.2.4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.3.2.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.3.2.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.3.2.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Étape 1.3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{2}{x^{4} - 16}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Étape 1.4.1.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 16$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Étape 1.4.1.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Étape 1.4.1.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Étape 1.4.1.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 8}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Étape 1.4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Étape 1.4.3.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - \frac{1}{8})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Aucun minimum absolu

Étape 5