Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x^{2} y^{4}) = 3 x + y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (x^{2} y^{4})) = \frac{d}{d x} (3 x + y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x^{2} y^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} y^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x))$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{4}$ .

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x)$

Étape 2.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y') + \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y^{4} x)$

Étape 2.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 + 2 y y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

Étape 5.2

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3$

Étape 5.3

Soustrayez $2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Étape 5.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Étape 5.4.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1 = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Étape 5.4.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ par $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ par $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ par $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)$ .

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 - y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.5.1

Multipliez $y^{3}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.5.1.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{3 - (y \cdot y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.5.1.2

Multipliez $y$ par $y^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.5.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{3 - (y^{1} y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{3 - y^{1 + 3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.5.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y' = \frac{3 - y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 5.5.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$