Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $2 x \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x \sqrt{x} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Étape 4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Étape 4.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$