Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to - \frac{1}{2}} {(3 x + 4)}^{2}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(3 x + 4)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x + 4)}^{2}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} 3 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4)}^{2}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4)}^{2}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 4)}^{2}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $- \frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) \cdot {(3 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 4)}^{2}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 (- \frac{1}{2}) \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$4 (\frac{- 1}{2}) \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot - 1 \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \cdot {(3 (- \frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 8.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 \cdot {(- 3 (\frac{1}{2}) + 4)}^{2}$

Étape 8.3.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \cdot {(\frac{- 3}{2} + 4)}^{2}$

Étape 8.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + 4)}^{2}$

Étape 8.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 8.5

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \cdot {(- \frac{3}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \cdot {(\frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 2 \cdot {(\frac{- 3 + 8}{2})}^{2}$

Étape 8.7.2

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$- 2 \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}$

Étape 8.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$- 2 \cdot \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.9

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 2 \cdot \frac{25}{2^{2}}$

Étape 8.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \cdot \frac{25}{4}$

Étape 8.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \cdot \frac{25}{4}$

Étape 8.11.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot - 1 \cdot \frac{25}{2 \cdot 2}$

Étape 8.11.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \cdot \frac{25}{2 \cdot 2}$

Étape 8.11.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot \frac{25}{2}$

Étape 8.12

Réécrivez $- 1 (\frac{25}{2})$ comme $- (\frac{25}{2})$ .

$- \frac{25}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{25}{2}$

Forme décimale :

$- 12.5$