Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 1.4

Placez le terme $15$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 2

Comme l’exposant $- 5 x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 5 x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

Étape 5.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

Étape 5.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $2 - 15 \cdot 0$ et $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ .

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Étape 7.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.1.5

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Étape 7.1.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Étape 7.1.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $0$ par $15$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Étape 7.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

Étape 7.3.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2}$