Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Étape 1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 1.9.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.7.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.3

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.4

Associez des termes.

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.7.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Étape 2.7.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.4.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 2.7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$