Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 e^{x} - x^{2})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 2 e^{x} - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x^{2}] + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - (2 x)) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 11

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 12

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3

Associez des termes.

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Étape 13.3.1

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 13.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.1.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.3

Associez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.5

Associez $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.6

Associez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.7

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 13.3.8

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.8.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

Étape 13.3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

Étape 13.3.8.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

Étape 13.3.8.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Étape 13.3.8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Étape 13.3.8.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.8.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

Étape 13.3.8.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 13.3.9

Pour écrire $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.10

Associez $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.12

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.13

Soustrayez $2 x^{\frac{5}{3}}$ de $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 13.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$