Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to \infty} \frac{6 n^{3} + 2 n^{2} + 10}{n^{3} + 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $n$ dans le dénominateur, qui est $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $n^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $6$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $n^{2}$ et $n^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $n^{2}$ à partir de $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $n^{2}$ à partir de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $n^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$\frac{6 + 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n}$ approche de $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 4

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{6 + 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Étape 8.1.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{1 + 0}$

Étape 8.1.3

Additionnez $6 + 0$ et $0$ .

$\frac{6 + 0}{1 + 0}$

Étape 8.1.4

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{6}{1 + 0}$

Étape 8.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{6}{1}$

Étape 8.3

Divisez $6$ par $1$ .

$6$