Calcul infinitésimal Exemples

$3 x y = 4 x + y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 (x y' + y)$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$3 x y' + 3 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 + 2 y y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 4$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x y' + 3 y = 2 y y' + 4$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' + 3 y - 2 y y' = 4$

Étape 5.2

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' - 2 y y' = 4 - 3 y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 x y' - 2 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 x y'$ .

$y' (3 x) - 2 y y' = 4 - 3 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (3 x) + y' (- 2 y) = 4 - 3 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (3 x - 2 y) = 4 - 3 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 x - 2 y) = 4 - 3 y$ par $3 x - 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 x - 2 y) = 4 - 3 y$ par $3 x - 2 y$ .

$\frac{y' (3 x - 2 y)}{3 x - 2 y} = \frac{4}{3 x - 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x - 2 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x - 2 y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 x - 2 y)}{3 x - 2 y} = \frac{4}{3 x - 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x - 2 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4}{3 x - 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x - 2 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 - 3 y}{3 x - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 - 3 y}{3 x - 2 y}$