Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + x y^{2} = 3 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d y} (3 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + x y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} x'$

Étape 2.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 x y + y^{2} x'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' = 3 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 x'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' - 3 x' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $2 x y x' + y^{2} x' - 3 x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $2 x y x'$ .

$x' (2 x y) + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $y^{2} x'$ .

$x' (2 x y) + x' (y^{2}) - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $- 3 x'$ .

$x' (2 x y) + x' (y^{2}) + x' \cdot - 3 = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 x y) + x' (y^{2})$ .

$x' (2 x y + y^{2}) + x' \cdot - 3 = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 x y + y^{2}) + x' \cdot - 3$ .

$x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$ par $2 x y + y^{2} - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$ par $2 x y + y^{2} - 3$ .

$\frac{x' (2 x y + y^{2} - 3)}{2 x y + y^{2} - 3} = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x y + y^{2} - 3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 x y + y^{2} - 3)}{2 x y + y^{2} - 3} = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x) - 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- x - 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$x' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$x' = \frac{x (- (x + 2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.6.1

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 5.4.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x (x + 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x + 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$