Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.2.5.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, - 3$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 4.3

Remplacez $6$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 12$ par $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Étape 4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.2.2.1

Écrivez $- 1296$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1296}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1296}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Étape 4.3.2.2.4

Écrivez $- 2592$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Étape 4.3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 2592}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 4.3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 2592}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.4.1

Multipliez $- 1296$ par $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Étape 4.3.2.4.2

Multipliez $- 2592$ par $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.5.1

Soustrayez $6480$ de $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $12960$ de $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Étape 4.3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $6$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ est $(6, - \frac{11664}{5})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Étape 4.5

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.6

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Étape 4.5.2.1.7

Multipliez $- 12$ par $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Étape 4.5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.5.2.2.1

Écrivez $- 81$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Étape 4.5.2.2.2

Multipliez $\frac{- 81}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Étape 4.5.2.2.3

Multipliez $\frac{- 81}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Étape 4.5.2.2.4

Écrivez $324$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Étape 4.5.2.2.5

Multipliez $\frac{324}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 4.5.2.2.6

Multipliez $\frac{324}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Étape 4.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Étape 4.5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.4.1

Multipliez $- 81$ par $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Étape 4.5.2.4.2

Multipliez $324$ par $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Étape 4.5.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.5.2.5.1

Soustrayez $405$ de $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Étape 4.5.2.5.2

Additionnez $- 648$ et $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Étape 4.5.2.6

La réponse finale est $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ est $(- 3, \frac{972}{5})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $115.32$ de $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 234.484$ et $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 11.284$ .

$- 11.284$

Étape 6.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $- 11.284$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.12

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.13

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Étape 7.2.1.14.2

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Étape 7.2.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Étape 7.2.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Étape 7.2.1.15

Multipliez $- 36$ par $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Étape 7.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.2.1

Écrivez $- 27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Étape 7.2.2.4

Écrivez $108$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $\frac{108}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.2.6

Multipliez $\frac{108}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $108$ par $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.5.1

Soustrayez $54$ de $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $- 81$ et $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Étape 7.3

Sur $- \frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $67.5$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 3, 0)$ .

Augmente sur $(- 3, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 6)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Étape 8.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $108$ de $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $216$ de $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 216$ .

$- 216$

Étape 8.3

Sur $3$ , la dérivée seconde est $- 216$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, 6)$

Diminue sur $(0, 6)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $6.1$ dans l’expression.

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $6.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $4$ par $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Étape 9.2.1.3

Élevez $6.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Étape 9.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Soustrayez $446.52$ de $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $439.2$ de $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $22.204$ .

$22.204$

Étape 9.3

Sur $6.1$ , la dérivée seconde est $22.204$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(6, \infty)$ .

Augmente sur $(6, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Étape 11