Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ comme ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3 x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3 x + 2$ .

$4 (- {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 ({(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 + 0)$

Étape 3.8

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3)$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

Étape 5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$