Calcul infinitésimal Exemples

$2 e^{\sqrt{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ et $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 12.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$