Calcul infinitésimal Exemples

$\int 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} (y^{2} - y) d y$

Étape 1

Laissez $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . Alors $d u = (6 y^{2} - 6 y) d y$ , donc $\frac{1}{6} d u = (y^{2} - y) d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3} - 3 y^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{3} - 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$6 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 y^{2} - 3 (2 y)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$6 y^{2} - 6 y$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 8^{u} \frac{1}{6} d u$

Étape 2

Associez $8^{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{8^{u}}{6} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int 8^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $8^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ comme $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} + C$