Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 4 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{lower} = 5$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Étape 2.5.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.3

Multipliez $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ par $1$ .

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $8$ et sur $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.7

Additionnez $2$ et $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.8

Associez $5^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Étape 7.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forme décimale :

$7.63138474 \dots$

Étape 9