Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{- 4}{6}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.6

Associez $\frac{- 6}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2.4

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$- 2 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72 x$ par rapport à $x$ est $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $- 72$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 72$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $24 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 72 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 72$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (36)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x + 6^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- 2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 6$ .

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez ${(x - 6)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 1.2.5

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 24 (0) - 72$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 24 (0) - 72$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) - 72$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $24$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 72$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 - 72$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $72$ de $0$ .

$f'' (0) = - 72$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 72$ .

$- 72$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 6)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 6)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{2} + 24 (8) - 72$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 64 + 24 (8) - 72$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $64$ .

$f'' (8) = - 128 + 24 (8) - 72$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $24$ par $8$ .

$f'' (8) = - 128 + 192 - 72$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 128$ et $192$ .

$f'' (8) = 64 - 72$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $72$ de $64$ .

$f'' (8) = - 8$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(6, \infty)$ car $f'' (8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 6)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7