Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{e^{64}}^{e^{81}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e^{64})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $64$ de l’exposant.

$u_{lower} = 64 \ln (e)$

Étape 1.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{lower} = 64 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $64$ par $1$ .

$u_{lower} = 64$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{81})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $81$ de l’exposant.

$u_{upper} = 81 \ln (e)$

Étape 1.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 81 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $81$ par $1$ .

$u_{upper} = 81$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 81$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{64}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{64}^{81} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{64}^{81} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{64}^{81} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{64}^{81} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{64}^{81} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{64}^{81}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $81$ et sur $64$ .

$(2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.4

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 9 - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$18 - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$18 - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$18 - 2 \cdot 8^{1}$

Étape 4.2.9

Évaluez l’exposant.

$18 - 2 \cdot 8$

Étape 4.2.10

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$18 - 16$

Étape 4.2.11

Soustrayez $16$ de $18$ .

$2$