Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 2 x - 5$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 2 x - 5$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 3.2

Associez $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ et ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 3.3

Placez ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , donc $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{5}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 d u_{2}$

Étape 6.3

Associez $\frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2} \cdot 2}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 6.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 8.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 8.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 8.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 8.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 8.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ comme $(2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5)$ .

$\int (2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2} - 5) - 5 (2 u_{2} - 5)) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2}) + 2 u_{2} \cdot - 5 - 5 (2 u_{2} - 5)) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2}) + 2 u_{2} \cdot - 5 - 5 (2 u_{2}) - 5 \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u_{2} (2 u_{2}) + 2 u_{2} \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + (- 5 (2 u_{2}) - 5 \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 u_{2} (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 u_{2} \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + (- 5 (2 u_{2}) - 5 \cdot - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 u_{2} (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 u_{2} \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.8

Déplacez $u_{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 u_{2} \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.9

Déplacez $u_{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 (2 u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.11

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\int 4 ({u_{2}}^{1} u_{2}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.12

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\int 4 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 4 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {u_{2}}^{2 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.16

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.17

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.19

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.19.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{4 - 1}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.19.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 5 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.20

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.21

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}) - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.23

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.25

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.26

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.27

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}) - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.29

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.31

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot - 5 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.32

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} - 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.33

Soustrayez $10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ de $- 10 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.34

Remettez dans l’ordre $- 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ et $25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 9.35

Remettez dans l’ordre $4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} + 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 25 {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 11

Comme $25$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$25 \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2} + \int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 13

Comme $4$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 20 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 15

Comme $- 20$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 20$ en dehors de l’intégrale.

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) - 20 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$25 (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C) - 20 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 17

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} - 20 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 17.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} - 20 \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 17.2.2

Associez $- 20$ et $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 20 (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 17.2.3

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 40 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 17.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$50 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {u_{2}}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{40 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ .

$50 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{40 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x - 5$ .

$50 {(\frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{8 {(\frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{40 {(\frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$50 {(\frac{1}{2} (2 x - 5) + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{5} {(\frac{1}{2} (2 x - 5) + \frac{5}{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{40}{3} {(\frac{1}{2} (2 x - 5) + \frac{5}{2})}^{\frac{3}{2}} + C$