Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 1 + 3 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 + 3 - 3 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2 - 3 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{{(x + 1)}^{2}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.7

Additionnez $3 x^{2} + 6 x + 3$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}$

Étape 1.3.8

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]}$

Étape 1.3.9

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]}$

Étape 1.3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]}$

Étape 1.3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]}$

Étape 1.3.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.10.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]}$

Étape 1.3.10.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]}$

Étape 1.3.10.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]}$

Étape 1.3.10.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]}$

Étape 1.3.10.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + 2 + 0}$

Étape 1.3.17

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + 2}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 6 x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.7.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 6 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.7.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 6 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.7.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 6 + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.7.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.2.7.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 2 x + 2}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Étape 2.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2}$

Étape 2.1.3.1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 + 2}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Étape 2.1.3.3.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} + 6 x + 3}{2 x + 2} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x + 3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x + 3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.6

Additionnez $6 x + 6$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.8.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 2.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{2 + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 2.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{2 + 0}$

Étape 2.3.10

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{6 x + 6}{2}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $6 x + 6$ et $2$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (3 x) + 6}{2}$

Étape 2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 3}{2}$

Étape 2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (3)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (3 x + 3)}{2}$

Étape 2.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (3 x + 3)}{2 (1)}$

Étape 2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (3 x + 3)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x + 3}{1}$

Étape 2.4.4.4

Divisez $3 x + 3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} 3 x + 3$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3$

Étape 3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$3 lim_{x \to - 1} x + 3$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$3 \cdot - 1 + 3$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 + 3$

Étape 5.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$