Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Alors $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$15 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ par $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Étape 3.2

Déplacez $15$ à gauche de $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{15}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{15}$ et $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Étape 6.1.2

Différenciez.

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Étape 6.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Étape 6.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $3$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $e^{u_{1}}$ de $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 10.2

Associez $\frac{2}{15}$ et $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$