Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$lim_{x \to 3} x^{4} + lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Étape 2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3^{4} + 3^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3^{4} + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3^{4} + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

Étape 9.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 + 27 - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

Étape 9.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 + 27 - 4 \cdot 9 - 2 \cdot 3 + 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$81 + 27 - 36 - 2 \cdot 3 + 1$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$81 + 27 - 36 - 6 + 1$

Étape 9.2

Additionnez $81$ et $27$ .

$108 - 36 - 6 + 1$

Étape 9.3

Soustrayez $36$ de $108$ .

$72 - 6 + 1$

Étape 9.4

Soustrayez $6$ de $72$ .

$66 + 1$

Étape 9.5

Additionnez $66$ et $1$ .

$67$