Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$ comme $e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})$ en déplaçant $\frac{4}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

Étape 2.2

Associez $\frac{4}{x}$ et $\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

Étape 2.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{4 \frac{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.4

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.1.5

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$e^{4 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - e^{\frac{x}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{\frac{x}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.8

Associez $\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.10

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Étape 4.4

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Étape 4.5

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Étape 4.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

Étape 4.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

Étape 4.8

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}}$

Étape 4.9

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{- 4 (\frac{1}{2}) \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e^{2 (- 2) \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{e^{0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Étape 6.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{0}}}$

Étape 6.4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1}}$

Étape 6.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 6.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{- 2}$

Étape 6.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$