Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[1, 7]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 7]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $7$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Étape 7.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $7$ est $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Étape 7.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Étape 7.3.3

Divisez $7$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Étape 8

Soustrayez $1$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Étape 9.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Étape 9.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Étape 10

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Étape 11