Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Étape 1.1.3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}$

Étape 1.1.3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}$

Étape 1.1.3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Étape 1.1.3.8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Étape 1.1.3.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 0}}$

Étape 1.1.3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.9.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 0}}$

Étape 1.1.3.9.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Étape 1.1.3.9.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Étape 1.1.3.9.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.9.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.9.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.11

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.13

Multipliez $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.4.14

Placez ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ .

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Étape 1.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x}$ comme ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.5.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 1.3.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])}$

Étape 1.3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}$

Étape 1.3.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}$

Étape 1.3.5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Étape 1.3.5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Étape 1.3.5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 1.3.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.5.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.5.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Étape 1.3.5.14

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Étape 1.3.5.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Étape 1.3.5.16

Associez $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Étape 1.3.5.17

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.5.18

Réécrivez $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.5.19

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.5.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.5.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.5.22

Multipliez $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.4.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.10

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.11

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}}$

Étape 2.13

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}}$

Étape 2.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 2.15

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}$

Étape 4.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}}$

Étape 4.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{1 + 1}{2}}$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.7

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.4

Divisez $1$ par $1$ .

$1$