Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Étape 1

Écrivez $\cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \cos^{2} (x) \cdot \sin (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - u^{2} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

Réécrivez $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$