Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ à $\sec^{2} (2 x)$ .

$\int \sec^{2} (2 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $\sec^{2} (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 8

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{2} \tan (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \tan (2 x) + C$