Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $x^{2} - 2 x - 3$ et $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $x^{2} - 2 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 2 x - 3$ .

$x^{2} - 2 x - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (3) - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 - 2$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$4$

Étape 10

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = 3^{2} - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 9 - {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 9 - 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (3) = 9 - 9 - 3 \cdot 3 + 4$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (3) = 9 - 9 - 9 + 4$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f (3) = 0 - 9 + 4$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f (3) = - 9 + 4$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$f (3) = - 5$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$y = - 5$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 1) - 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 2$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + (- 1) {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{1 + 2} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 - 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} + 3 + 4$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 + 4$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 3 + 4$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} + 4$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 4$

Étape 15.2.2.7

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Étape 15.2.2.8

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- 1 - 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 3 + 9 + 12}{3}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.5.1

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 9 + 12}{3}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$f (- 1) = \frac{5 + 12}{3}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $5$ et $12$ .

$f (- 1) = \frac{17}{3}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{17}{3}$ .

$y = \frac{17}{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4$ .

$(3, - 5)$ est un minimum local

$(- 1, \frac{17}{3})$ est un maximum local

Étape 17