Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\sin (x)) (\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x)) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \sin (x) (\sec (x) + \csc (x)) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) \sec (x) + \sin (x) \csc (x) d x$

Étape 1.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \csc (x) d x$

Étape 1.4

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \csc (x) d x$

Étape 1.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\csc (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \csc (x) \sin (x) d x$

Étape 1.5.2

Réécrivez $\sin (x) \csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) d x$

Étape 1.5.3

Annulez les facteurs communs.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 d x$

Étape 1.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\int \tan (x) + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \tan (x) d x + \int d x$

Étape 3

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| \sec (x) |) + C + x + C$

Étape 5

Simplifiez

$\ln (| \sec (x) |) + x + C$