Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ et $g (y) = 5 x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.6.3

Placez ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Étape 3.8

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Additionnez $5 x'$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

Étape 3.11.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

Étape 3.11.3

Associez $\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x'$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$