Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Étape 5.4

Associez les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Étape 5.4.2

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Étape 6.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Étape 6.4

Factorisez $2 e^{2 x}$ à partir de $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2 e^{2 x}$ à partir de $- 4 e^{2 x} x$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $2 e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $2 e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{4 x}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Étape 6.5.2.4

Divisez $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ par $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 6.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Étape 6.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Étape 6.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$