Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Étape 3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Étape 4

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Étape 5

Multipliez $(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $u$ par $u^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Multipliez $u$ par $u^{6}$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Étape 6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Étape 6.1.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Étape 6.2

Multipliez $u^{6}$ par $1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Étape 10.1.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$