Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{3 x}{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x}{3} + \frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2}$

Étape 1.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.1

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 1.4.2

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.3.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 1.4.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}$

Étape 1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}$

Étape 1.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 3}{6}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 + 9}{6}$

Étape 1.4.5.3

Additionnez $4$ et $9$ .

$f' (x) = \frac{13}{6}$

Étape 2

Comme $\frac{13}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{13}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0$