Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 4.8

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ par $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

Étape 4.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.10.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

Étape 4.10.2

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11

Simplifiez

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Étape 4.11.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.2

Associez des termes.

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Étape 4.11.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.11.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.2.3

Simplifiez

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.11.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.4

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.11.3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.11.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.5.6.5

Simplifiez

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.7

Associez les exposants.

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Étape 4.11.3.7.1

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.7.2

Associez $\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Étape 4.11.3.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.11.3.8.1

Placez $x^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Étape 4.11.3.8.2

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.3.8.2.1

Déplacez $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 4.11.3.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.8.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.8.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 4.11.3.8.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Étape 4.11.3.8.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.3.8.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Étape 4.11.3.8.2.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.4

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

Étape 4.11.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.11.5.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

Étape 4.11.5.2

Déplacez $\sqrt{(x - 1) x}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

Étape 4.11.5.3

Élevez $\sqrt{(x - 1) x}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

Étape 4.11.5.4

Élevez $\sqrt{(x - 1) x}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

Étape 4.11.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

Étape 4.11.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

Étape 4.11.5.7

Réécrivez ${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ comme $(x - 1) x$ .

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Étape 4.11.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x - 1) x}$ comme ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.11.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.11.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.11.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.11.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

Étape 4.11.5.7.5

Simplifiez

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

Étape 4.11.6

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.6.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Étape 4.11.6.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.11.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Étape 4.11.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Étape 4.11.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Étape 4.11.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

Étape 4.11.6.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Étape 4.11.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ .

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$