Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Développez $(5 i - 2) (i + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.1

Déplacez $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2 i$ de $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Étape 3

Évaluez $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $50$ et $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $50$ par $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $100$ et $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2550$ par $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Étape 3.3.2.2

Divisez $257550$ par $6$ .

$5 \cdot 42925$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $5$ par $42925$ .

$214625$

Étape 4

Évaluez $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Additionnez $50$ et $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $50$ par $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Étape 4.3.3

Divisez $2550$ par $2$ .

$13 \cdot 1275$

Étape 4.3.4

Multipliez $13$ par $1275$ .

$16575$

Étape 5

Évaluez $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 6) (50)$

Étape 5.3

Multipliez $- 6$ par $50$ .

$- 300$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$214625 + 16575 - 300$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Additionnez $214625$ et $16575$ .

$231200 - 300$

Étape 7.2

Soustrayez $300$ de $231200$ .

$230900$