Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $162$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 9^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 81 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $81$ .

$\frac{162 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $162$ .

$\frac{162 - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $162$ de $162$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Étape 1.1.3.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 18}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $18$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{9} - 1 \cdot 18}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 18}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Étape 1.1.3.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 1 \cdot 18}$

Étape 1.1.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 18}$

Étape 1.1.3.6.2

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

Étape 1.1.3.6.3

Soustrayez $18$ de $18$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 162$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 162$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 162$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 \sqrt{x} - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.10

Associez $3$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.8.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 9} \frac{x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Étape 2.9

Placez la limite sous le radical.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{9}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 3}{\sqrt{9}}}$

Étape 4.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{\sqrt{9}}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3}{\sqrt{9}}}$

Étape 4.1.4

Additionnez $6$ et $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{9}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{3^{2}}}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{9}{3}$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{6}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 (3)}{6}}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{9}{\frac{3}{2}}$

Étape 4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$4 (9 (\frac{2}{3}))$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$4 (3 (3) \frac{2}{3})$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun.

$4 (3 \cdot 3 \frac{2}{3})$

Étape 4.7.3

Réécrivez l’expression.

$4 (3 \cdot 2)$

Étape 4.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 \cdot 6$

Étape 4.9

Multipliez $4$ par $6$ .

$24$