Calcul infinitésimal Exemples

$- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 4 - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 4 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 4 - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 - 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - (2 x)$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - 2 x$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $- 4 - 15 y^{2} y'$ et $0$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' - 2 x$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 15 y^{2} y' - 2 x - 4$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 15 y^{2} y' - 2 x - 4 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 15 y^{2} y' - 4 = 2 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$ par $- 15 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$ par $- 15 y^{2}$ .

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 15$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{15 y^{2}} - \frac{4}{15 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{15 y^{2}} - \frac{4}{15 y^{2}}$