Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{e}^{e^{2}} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} x \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - (x]_{e}^{e^{2}})$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\ln (x) x$ sur $e^{2}$ et sur $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - (x]_{e}^{e^{2}})$

Étape 4.2

Évaluez $x$ sur $e^{2}$ et sur $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$2 \ln (e) e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Étape 4.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 \cdot 1 e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 e^{2} - \ln (e) e - (e^{2} - e)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 e^{2} - 1 \cdot 1 e - (e^{2} - e)$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 e^{2} - e - (e^{2} - e)$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{2} - e - e^{2} - - e$

Étape 5.1.4

Multipliez $- - e$ .

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + 1 e$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + e$

Étape 5.2

Soustrayez $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$e^{2} - e + e$

Étape 5.3

Additionnez $- e$ et $e$ .

$e^{2} + 0$

Étape 5.4

Additionnez $e^{2}$ et $0$ .

$e^{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{2}$

Forme décimale :

$7.38905609 \dots$