Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Étape 10

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Étape 12.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Étape 12.2.4

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5

Simplifiez

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Étape 12.2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.2.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.6

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.7

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.8

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.2.5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.8.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 12.2.5.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.14

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.15

Associez $9$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.16

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 12.2.5.16.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.16.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.17

Additionnez $3$ et $3$ .

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.19

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 12.2.5.20

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 12.2.5.20.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 12.2.5.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.20.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 12.2.5.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 12.2.5.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Étape 12.2.5.20.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

Étape 12.2.5.21

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

Étape 12.2.5.22

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

Étape 12.2.5.23

Associez $16$ et $\frac{1}{4}$ .

$6 + \frac{16}{4}$

Étape 12.2.5.24

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 12.2.5.24.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.5.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.24.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 12.2.5.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{4}{1}$

Étape 12.2.5.24.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$6 + 4$

Étape 12.2.5.25

Additionnez $6$ et $4$ .

$10$

Étape 13