Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez ${(x + 4)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $144$ de $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 36$ et $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $24$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $48$ .

$f'' (0) = 48$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 4, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(- 4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7