Calcul infinitésimal Exemples

$\int (8 x^{3} + \frac{1}{2 x^{2}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 8 x^{3} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 8 x^{3} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$2 x^{4} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$2 x^{4} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

Étape 8.2.2

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{4} - \frac{1}{2 x} + C$