Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 4

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 6

Développez ${(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ comme $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\int (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1) x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.8

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.10

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.12

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.13

Factorisez le signe négatif.

$\int x^{2} - (x^{2} x^{- 2}) - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} - x^{2 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.15

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x^{2} - x^{0} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.17

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.18

Factorisez le signe négatif.

$\int x^{2} - 1 - (x^{2} x^{- 2}) - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} - 1 - x^{2 - 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.20

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x^{2} - 1 - x^{0} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.21

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.22

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.23

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 6.24

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + x^{- 2} d x$

Étape 6.25

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\int x^{2} - 2 + x^{- 2} d x$

Étape 6.26

Remettez dans l’ordre $- 2$ et $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int - 2 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C - 2 x + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Étape 11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$