Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{{(5 x - 1)}^{4}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{{(5 x - 1)}^{4}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 5 x - 1$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 5 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u^{4}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 5} d u$

Étape 4.2

Déplacez $5$ à gauche de $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{5 u^{4}} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int u^{- 4} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ comme $\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Étape 8.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{5 (3 u^{3})} + C$

Étape 8.2.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{1}{15 u^{3}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 1$ .

$- \frac{1}{15 {(5 x - 1)}^{3}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{{(5 x - 1)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{15 {(5 x - 1)}^{3}} + C$