Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 6

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.7

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.9

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.10

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.11.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.11.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.11.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.13

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $1$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{6}}$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$