Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x + 1}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt[3]{x + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{x + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x + 1} d x$

Étape 4

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$