Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) + 3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 1

Factorisez $3 \sin (θ)$ à partir de $3 \sin (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 2

Factorisez $3 \sin (θ)$ à partir de $3 \sin (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 3

Factorisez $3 \sin (θ)$ à partir de $3 \sin (θ) (1) + 3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (1 + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 4

Réorganisez les termes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) (\tan^{2} (θ) + 1)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) \sec^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (θ)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \sin (θ) \sec^{2} (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Étape 6.2

Divisez $3 \sin (θ)$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \sin (θ) d θ$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $θ$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (θ) d θ$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \cos (θ)$ .

$3 (- \cos (θ)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Évaluez $- \cos (θ)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $0$ .

$3 (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0))$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} + \cos (0))$

Étape 9.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 9.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 9.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$3 (\frac{1}{2})$

Étape 9.2.6

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{2}$