Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{3} x^{4} + 5 x - x^{- 3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x^{4} + 5 x - x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{2}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 2.3

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 2.5

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 - \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 - (- 3 x^{- 4})$

Étape 4.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + 3 x^{- 4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 5.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + \frac{3}{x^{4}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 x^{3}}{3} + \frac{3}{x^{4}} + 5$